Великая теорема Ферма

Недавно на нашем канале я выставил ролик короткометражного фильма под названием «Математика и черт».

В этом фильме обсуждается Великая Теорема Ферма, которая известна многим. Сегодня хочу рассказать про историю этой теоремы и про частичное ее доказательство. Что же начнем с названия этой теоремы, связанной с именем ученого, который сформировал данную теорему- Пьер Ферма.

16 августа 1601 года во Франции, близ Тулузы, в гасконском городке Бомон-де-Ломань, около Монтобана на Тарне, притока Гаронны, у советника Доминика Ферма и его жены Франсуазы родился сын. Советник Ферма был уважаемым и зажиточным человеком, торговцем кожей, но сына захотел выучить в университете: для этого Пьера отправили в Тулузу изучать право. После Тулузы он учился в Бордо и Орлеане и только в 30 лет выпустился из университета адвокатом, но решил перейти на государственную службу и в 1631 году стал советником кассационной палаты Тулузского парламента — проще говоря, принимал прошения от населения. В том же году он женился на дочери советника кассационной палаты Луизе де Лонг и всю жизнь (счастливо или нет) провел в этой должности. У Ферма было пятеро детей, и спокойная провинциальная жизнь способствовала размеренным занятиям — юрист увлекался языками (он был полиглотом) и математикой; спорил с Декартом (о неверном методе решения задач, такт и вежливость Ферма привели спор к дружественному завершению) и приятельствовал с Паскалем. В 1648 году Ферма стал членом палаты эдиктов в городе Кастр, и в его фамилии появилась частица «де»; во время эпидемии чумы 1652 заболел, но выжил: смерть множества коллег позволила ему стать парламентским судьей; в 1654-м он совершил единственное в жизни путешествие — вот и все обстоятельства его жизни. Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в Кастре, ему было 64. Во время Французской революции его могила оказалась утрачена. В свободное от работы время Ферма занимался математикой и переписывался с ведущими учеными своего времени. Он был талантлив и обладал научной интуицией: его занимали самые важные вопросы современной науки. Казалось бы, провинциальный адвокат-любитель, чего от него ждать, но с ним состояли в переписке оба Паскаля, Декарт, Кавальери, Торричелли, Гюйгенс. Ферма работал в разных отраслях математики: ему принадлежат открытия в аналитической геометрии, теории чисел, анализе. Он много сделал для интегрального вычисления: как и Кеплер, он представлял фигуру состоящей из небольших элементов, чтобы каждый можно было приближенно приравнять к фигуре с известной площадью, например треугольнику. Благодаря своим озарениям Ферма сводил вычисление площади фигуры к задаче алгебраической, к суммированию геометрической прогрессии. Например, как, по Ферма, найти квадратуру гиперболы? Площадь ее стоит мысленно разделить на узкие прямоугольные полосы, а их можно представить прямоугольниками. Площади многоугольников образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, и задача состоит в том, чтобы найти сумму прогрессии — как видите, чисто алгебраический прием. Интересно, что алгебра в те времена слыла математикой второго сорта, подручным средством для нужд математиков, вынужденных обращаться к бытовым вещам, но, по сути, способы Ферма переводят геометрическую задачу на аналитический язык. Ферма нашел способ находить максимум и минимум функции, то есть предварил дифференциальное исчисление, открытое Ньютоном. Сам Ньютон писал, что работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.

Перейдем наконец к самой теореме. Это самая популярная теорема математики. Её условие просто и может быть понято школьником, но доказательство искали более трёхсот лет и нашли только в 1994 году. Теорема прославила Тулузского юриста. В 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта он написал, что для любого натурального числа n >2 уравнение

не имеет решений в целых ненулевых числах а, b, с.

Снизу Пьер де Ферма приписал, что найденное им доказательство слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Что сказать, и вправду получилось длинновато: доказательство принстонского англо-американского математика Эндрю Уайлса 1994 года заняло 129 страниц в журнале Annals of Mathematics и было опубликовано в 1995 году. С тех пор как теорема стала известна, многие умы бились над ее решением, существуют некоторые частные способы ее решения. Так, Леонард Эйлер в 1770-м доказал ее для случая n=3, в XIX веке теорему решили для n=5, 7 и для других частных случаев. Но все жаждали полного и красивого общего решения. Обманчивая простота формулировки и понятность условия принесли Великой теореме известность: ее решение искали именитые математики и любители; теорема считается рекордсменом по количеству неправильных доказательств. Знаменитый математик Давид Гильберт в 1900 году на Математическом конгрессе отметил, что поиск доказательства для теоремы Ферма изменил и развил всю теорию чисел. За ее решение назначали денежные премии: в 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тысяч немецких марок за верное общее доказательство теоремы. Но Первая мировая война обесценила марку. Истовые искатели доказательств звались «ферматисты», и многие журналы математики изнемогали под их натиском: в 1972 году журнал «Квант», написавший о теореме, снабдил статью припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут». В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию.

Многие сегодня мечтают упростить его тяжеловесное доказательство, так что говорить о том, что точка в истории поставлена, пока рано. И вправду — всего 420 лет!

Айхан Искендеров