ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ

Математика — это язык, на котором говорят все точные науки. Н.И. Лобачевский

Математика — наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Наука, занимающаяся изучением чисел, структур, пространств и преобразований.

Как правило, люди думают, что математика — это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий с их помощью, например, умножения и деления. На самом деле математика — это намного больше. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живем. Любой нормальный ребенок может преуспевать в математике, потому что «ощущение числа» — это врожденная способность. Правда, для этого нужно приложить некоторые усилия и затратить немного времени. Умение считать — это еще не все. Ребенку необходимо уметь хорошо выражать свои мысли, чтобы понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Для того чтобы выучить таблицу умножения, нужны память и речь. Именно поэтому некоторым людям с поврежденным мозгом трудно умножать, хотя другие виды счета не представляют для них сложности. Для того чтобы хорошо знать геометрию и разбираться в форме и пространстве, требуются и другие виды мышления. С помощью математики мы решаем в жизни проблемы, например, делим шоколадку поровну или находим нужный размер ботинок. Благодаря знанию математики ребенок умеет копить карманные деньги и понимает, что можно купить и сколько денег тогда у него останется. Математика — это еще и способность отсчитать нужное количество семян и посеять их в горшочек, отмерять нужное количество муки для пирога или ткани на платье, понять счет футбольной игры и множество других повседневных дел. Везде: в банке, в магазине, дома, на работе — нам необходимо умение понимать числа, формы и меры и обращаться с ними. Числа — это только часть особого математического языка, а лучший способ выучить любой язык — это применять его. Сейчас я хочу рассказать вам о некоторых задач, которые вошли в историю математики как «Задачи тысячелетия». Так что же это за задачи с весьма завораживающим названием? Это семь математических проблем, определенных Математическим институтом Клэя 2000 года, охарактеризованы как «важные классические задачи, решение которых не найдено на протяжении многих лет». За

решение каждой из этих проблем институтом Клэя предложен приз в размере 1000000 долларов США. Расскажем немного истории как вообще сформировались эти задачи. Август 1900 года ознаменовался проведением в Париже II Международного конгресса математиков, на котором один из корифеев науки Давид Гильберт сформулировал наиболее кардинальные проблемы, требующие разрешения. 23 проблемы Гильберта определили многие ключевые направления развития математики в прошлом столетии. К началу XXI века почти все они были решены, либо покинули список по другим причинам – например, как нечетко сформулированные, – и сто лет спустя после Гильберта математик Стивен Смейл выдвинул новый список 18 проблем, стоящих перед математиками и физиками нашего времени. Попытку Смейла можно засчитать, однако куда большую известность получил альтернативный вариант, предложенный авторитетным американским институтом Клэя. Семь проблем были названы на громком мероприятии, специально организованном в Париже. Одна из них, гипотеза Римана, перекочевала еще из списка 1900 года, а еще одна – гипотеза Пуанкаре – оказалась доказанной уже два года спустя российским ученым Григорием Перельманом. Кстати, заслуженный миллион по-прежнему ожидает выплаты, и пока что Григорий Перельман отказывается принять награду. Я упростил многие моменты, постаравшись объяснить задачи так, чтобы суть была понятной даже человеку, совсем далекому и от высшей, и какой-либо другой математики. Начнем, описание пожалуй с той самой решенной задачи. Итак…

1. Гипотеза Пуанкаре

Область изучения – топология.

Формулировка звучит так: Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфное трёхмерной сфере. В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать. Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений, а Перельман спустя 100 лет математически это доказал. Для начала заметим, что обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы

недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин “односвязное компактное трёхмерное многообразие без края” содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин “гомеоморфно” означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость. Как то так.

2. Равенство классов P и NP

Область изучения – теория алгоритмов.

Нестрого говоря, проблема равенства P=NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно довольно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно довольно быстро найти (также за полиномиальное время и используя полиномиальную память)? Иными словами, действительно ли решение задачи проверить не легче, чем его отыскать? Более простая формулировка звучит так: Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится. Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

3. Уравнение Навье-Стокса

Область изучения – гидродинамика.

Уравнения Навье-Стокса – это система дифференциальных уравнений, которая описывает движение вязкой ньютоновской жидкости либо газа. Так называемая «вязкость» жидкости – это её способность оказывать сопротивление, если какую-то её часть попытаться сдвинуть относительно соседнего слоя (например, при гребле). При этом в жидкости происходит внутреннее трение. Задача известна более ста лет, остается нерешенной. Задача на стыке математики и классической физики вырастает из работ, проделанных еще в XIX в., когда ученые стали формулировать строгие законы, которые описывают движение жидкостей. Полученные тогда уравнения Навье – Стокса остаются одними из важнейших в гидродинамике и аэродинамике. Они позволяют вычислять скорость потока с учетом вязкости, сжимаемости, плотности, давления и т. п., и используются повсеместно. Однако решить их в общем виде до сих пор не удается, и расчеты ведутся лишь для отдельных, частных случаев. В решении уравнений Навье – Стокса скрываются многие тайны одного из самых «твердых орешков» современной физики – проблемы турбулентности. С ней современные технологии встречаются повсеместно, от самолетов и подлодок до ветряных электростанций и автомобилей, – но во многом турбулентность остается плохо понятной, плохо просчитываемой и почти непредсказуемой. Поэтому ученые штурмуют эту «Задачу тысячелетия» с особенным упорством.

4. Гипотеза Римана

Область изучения- теория чисел.

Немецкий математик Бернхард Риман предложил гипотезу, которая утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции распределения простых чисел лежат на прямой линии. Гипотеза Римана уже была проверена для 10 триллионов решений, но

полное доказательство ещё не было подтверждено, но математики утверждают, что уже совсем близко подошли к решению этой задачи тысячелетия. Свойства простых чисел изучались многими великими людьми в истории математики. С первого доказательства бесконечности простых чисел Евклида до формулы произведения Эйлера, связавшей простые числа с дзета-функцией. От формулировки теоремы о простых числах Гаусса и Лежандра до её доказательства, придуманного Адамаром и Валле-Пуссеном. Тем не менее, Бернхард Риман до сих пор считается математиком, сделавшим единственное крупнейшее открытие в теории простых чисел. В его опубликованной в 1859 году статье, состоявшей всего из восьми страниц, были сделаны новые, ранее неизвестные открытия о распределении простых чисел. Эта статья по сей день считается одной из самых важных в теории чисел. После публикации статья Римана оставалась главным трудом в теории простых чисел и на самом деле стала основной причиной доказательства в 1896 году теоремы о распределении простых чисел. С тех пор было найдено несколько новых доказательств, в том числе элементарные доказательства Сельберга и Эрдёша. Однако до сих пор остаётся загадкой гипотеза Римана о корнях дзета-функции. Давайте начнём с простого. Все мы знаем, что число является или простым, или составным. Все составные числа состоят из простых и могут быть разложены на их произведения (a x b). В этом смысле простые числа являются «строительными блоками» или «фундаментальными элементами» чисел. В 300 году до нашей эры Евклид доказал, что их количество бесконечно. Его изящное доказательство имеет следующий вид:

Теорема Евклида Предположим, что множество простых чисел не бесконечно. Создадим список всех простых чисел. Тогда P пусть будет произведением всех простых чисел списка (перемножим все простые числа из списка). Прибавим к результату 1: Q = P +1. Как и все числа, это натуральное число Q должно быть или простым, или составным:

· Если Q простое, то мы нашли простое число, которого нет в нашем «списке всех простых чисел».

· Если Q не простое, то оно составное, т.е. составлено из простых чисел, одно из которых, p, будет делителем Q (потому что все составные числа являются произведениями простых). Каждое простое p, из которого составлено P, очевидно является делителем P. Если p является делителем и для P, и для Q, то оно должно быть и делителем для их разности, то есть единицы. Ни одно простое число не

является делителем 1, поэтому число p не может находиться в списке — ещё одно противоречие тому, что список содержит все простые числа. Всегда будет существовать ещё одно простое p, не находящееся в списке и являющееся делителем Q. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

5. Гипотеза Ходжа

Область – алгебраическая геометрия.

Формулировка этой гипотезы выглядит так: «На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов». Нужно доказать или опровергнуть это утверждение. Суть в чем: в мире нас окружают простые и сложные объекты. И, вполне логично, что сложные объекты можно описать с помощью определённого количества простых. Основная идея гипотезы состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем приближаться к форме сложного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности. Математики не ограничивают себя тремя измерениями. К примеру, в четырехмерном пространстве у объекта будет четыре координаты (х, у, z, w). Измерений может быть сколько угодно, число уравнений и переменных тоже может быть любым (не пытайтесь это представить). К тому же переменные могут быть комплексными и принимать бесконечные значения разумным образом. Гипотеза Ходжа говорит о глубокой связи между топологией, алгеброй, геометрией и анализом. Она предлагает добавить в инструментарий специалиста по алгебраиче-ской геометрии два новых инструмента: топологические инварианты и уравнение Лапласа. Если гипотеза верна, эти инструменты обретут новое значение и станут потенциальным средством поиска ответов на множество вопросов.

6. Теория Янга-Миллса

Область изучения-физика элементарных частиц.

Возникла в 1950-х, остается нерешенной

Теория Янга – Миллса относится к области физики элементарных частиц, являясь фундаментом современных представлений о них. По сути, это набор уравнений, которые пытаются предсказать поведение частиц и являются попыткой дать объединенное описание трех из четырех фундаментальных взаимодействий природы – сильного, слабого и электромагнитного. Удалось это лишь частично, создав аппарат для описания объединенного электро-слабого взаимодействия.

Решить уравнения, включив в них сильное взаимодействие, пока не получается, и для него найдено отдельное решение, которое, кстати, привело к открытию кварков.

Получается, что теория Янга – Миллса включает электро-слабое взаимодействие и – отдельно – сильное. Эксперименты показывают, что она в принципе может их и объединить: предсказания уравнений согласуются с экспериментами, как натурными, так и расчетными, модельными. Однако математически доказать это пока не получается. Показано, что такая строгая теория требует построить описания для каждой компактной калибровочной группы – то есть группы преобразований, при которых свойства системы-частицы остаются неизменными (как сдвиг фазы не влияет на свойства волны-электрона), – причем сделать это предстоит для четырехмерного пространства-времени. Математики предполагают, что решение этой задачи потребует около века и ювелирной работы нескольких поколений математиков.

7. Гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера

Область изучения-алгебраическая геометрия

Гипотеза сформулирована так: Если для каждого простого числа посчитать число точек на кривой по модулю этого простого числа, получится некоторый бесконечный набор целых чисел. Дзета-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой, традиционно обозначаемая буквой L, получается, если определённым образом «склеить» этот набор в одну функцию комплексной переменной. Поскольку она содержит информацию о поведении по модулю сразу всех простых чисел, про неё бывает проблематично что-нибудь доказать. (В этом она похожа на дзета-функцию Римана — и гипотеза Римана, касающаяся свойств дзета-функции Римана, является ещё одной из «задач тысячелетия».) Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера идёт дальше и связывает поведение кривой над рациональными числами (конкретно, ранг) со свойствами дзета-функции, вычисляемой исключительно по поведению кривой по конечным модулям.

Математики всегда интересовались проблемой описания всех решений в целых числах x, y, z алгебраических уравнений. Пример такого уравнения — x2 + y2 = z2. Его целые решения уже описал Евклид, однако для более сложных уравнений это может быть чрезвычайно сложным. Доказано, что у людей нет способа определить, в каких случаях такие уравнения имеют решения в целых числах, а в каких — нет. Например, у уравнения xn + yn =

zn точно нет целых решений при n > 2. Это Великая теорема Ферма, на ее доказательство у математиков ушло больше 300 лет. Однако в частном случае — когда решения образуют абелево многообразие, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер предположили, что число решений определяется значением связанной с уравнением дзета-функции в точке 1. Если значение дзета-функции в точке 1 равно 0, то имеется бесконечное число решений, и наоборот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений.

Под конец хочу сделать такое заключение что, математика — это необъятная наука, никогда не знаешь с чем столкнешься, но одновременно с этим она удивительная наука, которая помогает нам смотреть на этот мир совсем по-другому. Насчет этих задач могу сказать, что для решения именно этих задач нам нужны нестандартные умы, так как эти задачи тоже являются нестандартными. Но это не означает, что мы не должны думать об этом ведь нет ничего невозможного. К примеру могу привести один факт: В 1939 году 25-летний математик Джордж Данциг учился в Калифорнийском университете. Однажды он на 20 минут опоздал на пару по статистике. Тихонько вошел, сел за парту и завертел головой, пытаясь понять, что пропустил.

На доске были записаны условия двух задач.

«Ага», подумал Данциг, «ясно — это, видимо, домашнее задание к следующей паре». Студент переписал задачи в тетрадь и стал слушать профессора. Дома он трижды пожалел о том, что опоздал на пару. Задачи были действительно сложными. Данциг думал, что, вероятно, пропустил что-то важное для их решения. Однако делать было нечего. Через несколько дней напряженной работы он все же решил эти задачи. Довольный заскочил к профессору и отдал тетрадь.

Профессор — его звали Ежи Нейман, если кому интересно — рассеянно принял задание. Да, мол, хорошо. Он как-то не смог сразу вспомнить, что не задавал студентам ничего подобного…

Когда спустя некоторое время он таки просмотрел то, что принес ему ученик, у него просто глаза на лоб полезли. Он вспомнил, что действительно в начале одной из лекций рассказывал студентам условия двух этих задач.

Двух теорем, которые на тот момент ещё не были доказаны!

Однако Данциг просто прослушал ту часть лекции, в котором говорилось о сложности этих задач. И решил их. Вот так вот, то есть иногда вы можете сделать невозможное просто нужно верить в себя. Ведь мы все знаем, что человеческий ум способен на многое

Айхан Искендеров